Inequação do 2º grau

Inequação do 2º grau é uma expressão algébrica com desigualdade em que o maior expoente da incógnita é 2. Resolver uma inequação significa determinar qual intervalo de valores que a incógnita pode assumir para satisfazer a expressão. Outra forma de resolver uma inequação do 2° grau é analisar o gráfico da função do 2° grau associada.

Leia também: Inequação modular — expressão algébrica com desigualdade que possui uma variável dentro do módulo

Tópicos deste artigo

• 1 - Resumo sobre inequação do 2º grau
• 2 - O que é uma inequação do 2º grau?
• 3 - Como resolver uma inequação do 2º grau?
  • → Outra forma de resolver uma inequação do 2º grau
• 4 - Exercícios resolvidos sobre inequações do 2º grau

Inequação Produto

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Inequação produto e inequação quociente

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Resumo sobre inequação do 2º grau

• Inequação do 2º grau é uma expressão com desigualdade em que o maior expoente da incógnita é 2.
• Para resolvê-la, devemos obter as raízes da equação associada e analisar os sinais da incógnita para valores em cada intervalo determinado pelas raízes.
• Outra forma de encontrar a solução dela é analisar o gráfico da função associada.

O que é uma inequação do 2º grau?

Uma inequação do 2º grau é uma expressão algébrica com desigualdade em que o maior expoente da incógnita é 2. Assim, a inequação do 2º grau apresenta um dos seguintes formatos, em que a, b e c são números reais:

• $ax^2+bx+c<0$
• $ax^2+bx+c\le0$
• $ax^2+bx+c>0$
• $ax^2+bx+c\geq0$

Lembre-se de que os sinais <, ≤,>,≥ indicam desigualdades e significam, respectivamente, “menor”, “menor ou igual”, “maior” e “maior ou igual”.

Exemplo:

$x^2-4<0$ é uma inequação do 2º grau, com a=1, b=0 e c=-4. Resolva essa inequação.

Resolução:

Resolver essa inequação é indicar quais números reais podemos substituir a incógnita x para que $x^2-4<0$. Vamos testar alguns números.

• Se $x=-3$, temos que $\left(-3\right)^2-4\ =9-4=5$. Como 5 não é menor que 0, o número –3 não é uma solução para a inequação.

• Se $x=0$, temos que $0^2-4=-4$. Como – 4 é menor que 0, o número 0 é uma solução para a inequação.
• Se $x=5$, temos que $1^2-4=1-4=-3$. Como –3 é menor que 0, o número 1 é uma solução para a inequação.
• Se $x=5,5$, temos que $\left(5,5\right)^2-4=30,25-4=26,25$. Como 26,25 não é menor que 0, o número 5,5 não é uma solução para a inequação.

Encontramos duas soluções para a inequação, e poderíamos continuar testando números para encontrar outras. No entanto, resolver a inequação significa encontrar todas as soluções, ou seja, determinar o intervalo do conjunto solução. Vejamos, a seguir, como fazer isso.

Como resolver uma inequação do 2º grau?

Para resolver uma inequação do 2º grau, devemos seguir os seguintes passos:

• 1º passo: comparar a expressão com a equação do 2º grau correspondente.
• 2º passo: obter as raízes da equação.
• 3º passo: atribuir valores para a incógnita com base nos intervalos de números reais determinados pelas raízes da equação e avaliar quais satisfazem a inequação.

Exemplo:

Determine o conjunto solução da inequação do 2º grau $x^2-4<0$.

Resolução:

Vamos analisar a equação do 2º grau correspondente:

$x^2-4=0$

$x^2=4$

Assim, $x_1=-2 \ e\ x_2=2$ são as raízes da equação $x^2-4=0$.

Agora vamos analisar o que ocorre na expressão $x^2-4$ para os números reais nos intervalos definidos por –2 e 2. Lembre-se de que buscamos valores de x, em que $x^2-4<0$.

• Se $x<-2$, tem-se que $x^2-4$ é maior que zero.

(Testamos $x=-3$ anteriormente e obtemos 5 como resultado. Poderíamos atribuir outros valores para x com $x<-2$ e teríamos que $x^2-4$ é maior que zero.)

• Se $-2 < x < 2$, tem-se que $x^2-4$ é menor que zero.

(Testamos $x = 0$ e $x = 1$ anteriormente e obtemos –4 e –3, respectivamente, como resultados. Poderíamos atribuir outros valores para x, com $-2 < x < 2$, e teríamos que $x^2-4$ é menor que zero.)

• Se $2 < x$, tem-se que $x^2-4$ é maior que zero.

(Testamos $x=5,5$ anteriormente e obtemos 26,25 como resultado. Poderíamos atribuir outros valores para x, com $2 < x$, e teríamos que $x^2-4$ é maior que zero.)

Dessa forma, o conjunto solução é $S = \{ x \in R / -2 < x < 2 \}$

→ Outra forma de resolver uma inequação do 2º grau

Um modo mais direto de resolver uma inequação do 2° grau é analisar os sinais do gráfico da função do 2º grau à qual a inequação do 2º grau está associada. Considerando uma função do 2° grau $f\left(x\right)=ax^2+bx+c$, o gráfico desse tipo de função é uma parábola cuja concavidade está associada ao sinal de a:

• Se a>0, a concavidade é voltada para cima.
• Se a<0, a concavidade é voltada para baixo.

Exemplo:

Qual o conjunto solução da inequação $2x^2-6x+4\geq0$?

Resolução:

Vamos analisar a equação do 2º grau correspondente:

$2x^2-6x+4=0$

Utilizando a fórmula de Bháskara, temos que:

$x=\frac{6\pm\sqrt{36-4\cdot2\cdot4}}{4}$

Assim, $x_1=1 \ e\ x_2=2$ são as raízes da equação $2x^2-6x+4=0$.

Agora considere a função $f\left(x\right)=2x^2-6x+4$. Como 2>0, o gráfico dessa função é uma parábola com concavidade para cima. Além disso, pelo que analisamos, o gráfico dessa função cruza o eixo horizontal quando x=1 e quando x=2. Assim, o comportamento dessa função próximo a esses valores é o seguinte:

Note que:

• Se x<1, tem-se que $2x^2-6x+4$ é maior que zero.
• Se 1< x < 2, tem-se que $2x^2-6x+4$ é menor que zero.
• Se 2 < x, tem-se que $2x^2-6x+4$ é maior que zero

Portanto, o conjunto solução da inequação $2x^2-6x+4\geq0 \ é \ S=\{x\in R/x\le1\ \mathrm{ou\ }2\le x\}$.

Veja também: Sistema de inequação do 1º grau — formado por duas ou mais inequações do 1º grau

Exercícios resolvidos sobre inequações do 2º grau

Questão 1

(Udesc) O conjunto solução da inequação $x^2-2x-3\le0$ é:

A) $\{x\in R/-1\ < x < 3\}$

B) $\{x\in R/-1\ < x \leq 3\}$

C) $\{x\in R/x<-1\ \mathrm{ou\ }x>3\}$

D) $\{x\in R/x<-1\ \mathrm{ou\ }x\geq3\}$

E) $\{x\in R/-1\le x\le3\}$

Resolução:

Alternativa E

Considere a equação $x^2-2x-3=0$. Utilizando a fórmula de Bháskara, temos que:

$x=\frac{2\pm\sqrt{4-4\cdot1\cdot-3}}{2}$

Assim, $x_1=-1 \ e\ x_2=3$ são as raízes da equação $x^2-2x-3=0$.

Considere $f\left(x\right)=x^2-2x-3$. O gráfico dessa função possui a concavidade para cima e cruza o eixo horizontal em $x_1=-1 \ e\ x_2=3$.

Portanto, os valores de x, em que $x^2-2x-3\le0$, são os valores de –1 a 3, incluido $x=-1 \ e\ x=3$.

Questão 2

(PUC) Quantas soluções inteiras a inequação $x^2+x-20\le0$ admite?

A) 2

B) 3

C) 7

D) 10

E) 13

Resolução:

Alternativa D

Considere a equação $x^2+x-20=0$. Utilizando a fórmula de Bháskara, temos que:

$x=\frac{-1\pm\sqrt{1-4\cdot1\cdot-20}}{2}$

Assim, $x_1=-5 \ e\ x_2=4$ são as raízes da equação $x^2+x-20=0$.

Considere $f\left(x\right)=x^2+x-20$. O gráfico dessa função possui a concavidade para cima e cruza o eixo horizontal em x1=-5 e x2=4.

Portanto, os valores de x, em que $x^2+x-20\le0$, são os valores de – 5 a 4, incluido $x=-5 \ e\ x=4$. Dessa forma, o conjunto com as soluções inteiras é:

$\{-5,\ -4,-3,-2,-1,\ 0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4\}$

Fontes

LIMA, Elon L. et al. A Matemática do Ensino Médio: Volume 1. Coleção Professor de Matemática. Rio de Janeiro: SBM, 2016.

MINEIRO, R. M. Estudo das três dimensões do problema didático de inequações. Tese (Doutorado em Educação Matemática) - Programa de Estudos Pós-Graduados em Educação Matemática, Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, São Paulo, 2019. Disponível em https://repositorio.pucsp.br/jspui/handle/handle/22984.