Inequação produto e inequação quociente

A inequação produto e a inequação quociente são casos particulares de inequação. Conhecemos como inequação produto o produto entre duas expressões algébricas em um dos membros da inequação. Já a inequação quociente se dá quando há uma divisão entre duas expressões algébricas em um dos membros da inequação.

Para encontrar o conjunto de soluções da inequação produto, é feito o estudo de sinal de cada um dos seus fatores e depois é analisado qual será o sinal do produto. De modo análogo, para encontrar o conjunto de soluções da inequação quociente, é feito o estudo do sinal do numerador e do denominador separadamente e depois é analisado qual será o sinal do quociente.

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Tópicos deste artigo

• 1 - Resumo sobre inequação produto e inequação quociente
• 2 - Inequação produto
  • Como resolver uma inequação produto
• 3 - Inequação quociente
  • Como resolver uma inequação quociente
• 4 - Exercícios resolvidos sobre inequação produto e inequação quociente

Resumo sobre inequação produto e inequação quociente

• Inequação produto se dá quando há um produto entre expressões algébricas na inequação.
• Inequação quociente se dá quando há uma divisão entre expressões algébricas na inequação.
• Para encontrar o conjunto de soluções de uma inequação produto, são necessários o estudo de sinal das funções representadas por cada uma das expressões algébricas e a análise do produto desses sinais.
• Para encontrar o conjunto de soluções de uma inequação quociente, é necessário fazer o estudo de sinal do numerador e do denominador.

Inequação produto

Conhecemos como inequação produto aquela que possui o produto entre duas expressões algébricas em um dos membros da inequação.

Exemplos:

• $(x-2)(x+3)\geq0$
• $(3x-4)(x-8)<0$
• $(2x+3)(4x-7)\le0$

• Como resolver uma inequação produto

O conjunto de soluções de uma inequação são os valores que x pode assumir sendo que ainda assim ela continue verdadeira. Para encontrar o conjunto de soluções de uma inequação produto, são necessários:

• o estudo de sinal das funções representadas por cada uma das expressões algébricas;
• a análise do produto desses sinais.

Exemplo: 

Encontre o conjunto de soluções da inequação a seguir:

(x – 3) (2x – 10) < 0

Resolução:

Primeiramente, faremos o estudo de sinal de cada uma das expressões algébricas.

x – 3 = 0

x = 3

Agora, faremos o estudo de sinal do segundo fator:

$2x-10=0$

$2x=10$

$x=\frac{10}{2}$

$x=5$

Para que a multiplicação de dois fatores seja menor que zero, os dois fatores precisam ter sinais opostos, ou seja, um positivo e o outro negativo. Analisemos o sinal do produto:

Assim, a inequação (x – 3) (2x – 10) < 0 possui como solução os números maiores que 3 e menores que 5, ou seja 3 < x < 5.

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Inequação quociente

Uma inequação é conhecida como inequação quociente quando ela possui em um dos membros da inequação o quociente entre duas expressões algébricas.

Exemplos:

• $\frac{x+2}{x-3}\geq0$
• $\frac{2x-1}{x+6}<0$
• $\frac{5-x}{2+3x}>0$

• Como resolver uma inequação quociente

Para encontrar o conjunto de soluções de uma inequação quociente, são necessários:

• o estudo de sinal das funções representadas no numerador do quociente;
• o estudo de sinal das funções representadas no denominador do quociente.

Exemplo: 

Encontre o conjunto de soluções da inequação a seguir:

$\frac{x-6}{2x-2}>0$

Resolução:

De início, faremos o estudo de sinal do numerador:

$x-6=0$

$x=6$

Agora, analisando o denominador:

$2x-2=0$

$2x=2$

$x=\frac{2}{2}$

$x=1$

Para que a divisão tenha resultado positivo, ou o numerador e o denominador devem ser positivos, ou ambos devem ser negativos:

Portanto, a solução dessa inequação é a união dos intervalos x < 1 ou x > 6.

Exercícios resolvidos sobre inequação produto e inequação quociente

Questão 1

(Vunesp) Os números reais que satisfazem a inequação (x + 1) (x – 2) (x – 3) > 0 são descritos por:

A) x > 3

B) x < – 1

C) x > 2

D) –1 < x < 2 e x > 3

E) –1 < x < 2 ou x > 3

Resolução:

Alternativa E

Primeiramente, faremos o estudo de sinal para cada um dos fatores, encontrando o 0 de cada uma delas:

x + 1 = 0

x = – 1

x – 2 = 0

x = 2

x – 3 = 0

x = 3

Analisando o sinal do produto, temos que:

Assim, as soluções desse conjunto são –1 < x < 2 ou x > 3.

Questão 2

Analise a inequação a seguir:

$\frac{x-3}{5-x}\le0$

Sobre essa inequação, podemos afirmar que:

I. É uma inequação quociente.

II. x = 2 é uma solução para a inequação.

III. x = 5 é uma solução da inequação.

Marque a alternativa correta:

A) Somente I é falsa.

B) Somente II é falsa.

C) Somente III é falsa.

D) Todas são verdadeiras.

Resolução:

Alternativa C

I. Verdadeira

Note que há uma razão entre duas expressões algébricas, logo essa é uma inequação quociente.

II. Verdadeira

Para verificar se 2 é solução, substituiremos x = 2 na inequação:

$\frac{2-3}{5-2}\le0$

$\frac{-1}{3}\le0$

$\frac{-1}{3}\le0$

Sabemos que $\frac{-1}{3}$ é menor que 0, logo x = 2 é uma solução.

III. Falsa

Se x = 5, note que o denominador seria 0, sendo que é impossível dividir por 0. Logo, x deve ser diferente de 5.

 

Por Raul Rodrigues de Oliveira
Professor de Matemática